EPISTEMOLOGI MATEMATIKA TENTANG LOGIKA FUZZY

Epistemologi matematika merupakan teori pengetahuan yang proses pengkajiannya tentang matematika. Epistemologi matematika ini merupakan cabang filsafat yang berkaitan dengan hakikat dan lingkup pengetahuan matematika yan meliputi matematika murni, matematika terapan dan berbagai cabang matematika lainnya, ciri-ciri matematika yang meliputi abstraksi, deduktif, hipotesis, eksak, simbolik, universal, rasional dan lain-lain, penggadaian, dan dasar-dasarnya serta pertanggungjawaban atas pertanyaan mengenai pengetahuan yang dimiliki.

Matematika pada hakikatnya, selalu berusaha mengungkap kebenaran namun dalam sejarah panjangnya, sejak jaman Renaisans, aspek empiris dari matematika seperti yang dirancangkan oleh Jhon Stuart Mill ternyata kurang mendapat prospek yang cerah. Matematika telah berkembang menjadi kegiatan abstraksi yang lebih tinggi di atas kejelasan fondasinya seperti yang terjadi pada kalkulus Infinitas dan bilangan kompleks yang telah mengambil jarak dari pandangan kaum skeptik. Dan empirik mulai menggaungkan lagi pandangan-pandangan tentang pondasi matematika. 

Kaum epistemologis berusaha untuk meletakkan dasar pengetahuan matematika dan berusaha menjamin kepastian dan kebenaran matematika. Untuk mengatasi keracunan dan ketidakpastian dari pondasi matematika yang telah diletakkan sebelumnya. Perlu kiranya dicatat bahwa di dalam kajian pondasi epistemologi matematika terdapat pandangan tentang epistemologi standart yang meliputi kajian tentang kebenaran, kepastian, universalisme, objektivitas, rasionalitas, dan lain sebagainya. Menurut pondasi nasiolisme empiris, dasar dari pengetahuan adalah lebih besar dari kebenaran yang diperoleh dari hukum sebab-akibat diturunkan dari argumen-argumennya.

PENGERTIAN TENTANG LOGIKA FUZZY

            Logika Fuzzy adalah suatu cara tepat untuk memetakan suatu ruang input ke dalam ruang output. Untuk sistem yang rumit, penggunaan logika fuzzy (fuzzy logic) adalah salah satu pemecahannya. Sistem tradisional dirancang untuk mengontrol keluaran tunggal yang berasal dari beberapa masukan yang tidak saling berhubungan. 

Secara umum, sistem fuzzy sangat cocok untuk penalaran pendekatan terutama untuk sistem yang menangani masalah-masalah yang sulit didefinisikan dengan menggunakan model matematis Misalkan, nilai masukan dan parameter sebuah sistem bersifat kurang akurat atau kurang jelas, sehingga sulit mendefinisikan model matematikanya.

Alasan Digunakannya Logika Fuzzy

Adapun beberapa alasan mengapa digunakannya logika fuzzy (Kusuma Dewi, 2003) dan ini sama dengan kelebihan logika fuzzy adalah:

1. Konsep logika fuzzy mudah dimengerti. Karena logika fuzzy menggunakan dasar teori himpunan, maka konsep matematis yang mendasari penalaran fuzzy tersebut cukup mudah untuk dimengerti.
2. Logika fuzzy sangat fleksisbel, artinya mampu beradaptasi dengan perubahan-perubahan, dan ketidakpastian yang menyertai permasalahan.
3. Logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data yang cukup homogeny, dan kemudian ada beberapa data “eksklusif”, maka logika fuzzy memiliki kemampuan untuk menangani data eksklusif tersebut.
4. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para pakar secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan. Dalam hal ini, sering dikenal dengan istilah fuzzy expert sistem menjadi bagian terpenting.
5. Logika fuzzy dapat bekerjasama dengan teknik-teknik kendali secara konvensional. Hal ini umumnya terjadi pada aplikasi di bidang teknik mesin maupu teknik elektro.
6. Logika fuzzy didasari pada bahasa alami. Logika fuzzy menggunakan bahasa sehari-hari sehingga mudah dimengerti.

Sedangkan karakteristik utama dari logika fuzzy yang ditemukan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh adalah sebagai berikut:

a.       Dalam logika fuzzy penalaran dipandang sebagai suatu kasus terbatas dari penalaran kira –kira.

b.      Dalam logika fuzzysegala sesuatunya adalah masalah derajat.

c.       System logis manapun dapat difuzzifikasi.  Dalam logika fuzzy, pengetahuan diinterpretasikan sebagai koleksi dari fuzzy yang dipaksakan pada sekumpulan variable. Kesimpulan dipandang sebagai sebuah proses dari perkembangan pembatas elastis.

DASAR DASAR LOGIKA FUZZY

Penting bagi kita untuk terlebih dahulu mengetahui apa itu crisp set atau yang dikenal juga dengan conventional set, sebelum kita mengarah pada apa itu himpunan fuzzy dibuat untuk kekurangan pada crisp set. Dalam jenis pemikiran setiap harinya, dan refleksi bahasa darinya, orang – orang menggunakan crisp set untuk mengelompokan sesuatu. Menjadi anggota dari crisp set adalah seluruhnya berhubungan atau tidak sama sekali.

Berpikir dengan crisp set menjadikan segala sesuatunya lebih sederhana, karena sesuatu bisa merupakan anggota dari suatu crisp set atau tidak. Crisp set dapat digunakan untuk merepresentasikan gambaran pengertian hitam dan putih. Seringkali juga, saat sesuatu itu merupakan anggota dari sebuah crisp set maka ia kemudian (pada waktu yang sama) bukan merupakan anggota dari crisp set manapun. Kembali hal ini menyederhanakan penggunaan logika dengan proses pemikiran semacam ini. Konstruksi linguistik yang menggambarkan jenis pemikiran ini dapat benar – benar berguna, terutama saat kategori crisp digunakan. Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalam suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan µA[x], memiliki 2 kemungkinan, yaitu (Kusumadewi, 2004 : p3) :

Satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau

Nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.

Kekurangan Logika Fuzzy 

Selain kelebihan yang telah dijelaskan di atas, ternyata Logika Fuzzy juga memiliki kekurangan. Dalam mendesain logika fuzzy, sering ditemukan kesulitan dalam menentukan preferensi atau parameter agar output yang dihasilkan akurat, yaitu :

1.    Model Mamdani atau Sugeno atau model lain

Penentuan model inference harus tepat, Mamdani biasanya cocok untuk masalah intuitive sedangkan sugeno untuk permasalahan yang menangani control

2.    Jumlah Nilai Linguistik untuk setiap variabel

Kita harus merubah nilai crisp menjadi nilai linguisik. Jumlah dari nilai linguistik yang digunakan harus sesuai dengan permasalahan yang akan kita selesaikan.

3.    Batas-batas Nilai Linguistik

Batas-batas nilai linguistik akan sangat berpengaruh pada akurasi logika fuzzy.

SEJARAH DAN PERKEMBANGAN ANGKA SERTA BILANGAN DI DUNIA

Bilangan dan angka

Dalam penggunaan di kehidupan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap sebagai dua hal yang sama. Sebenarnya, angka dan bilangan mempunyai pengertian yang berbeda. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sedangkan angka adalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili satu bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan lain-lain. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia. Sekarang kita akan membahas tentang sejarah bilangan dan angka.

A.       Sejarah Bilangan

Penemuan Bilang an

Pada masa awal kebangkitan bilangan, tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga ada yang diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya. Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan sehari-hari kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan.

      Gambaran Sejarah Purbakala dari Matematika

Pada zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eulfrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis,  yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.

Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang  bermukim di sepanjang aliran sungai. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis maka diperlukan bilangan-bilangan.

Perkembangan Teori Bilangan

Perkembangan teori bilangan telah menyebar ke berbagai negara , di bawah ini akan di jelaskan beberapa perkembangan yang ada pada negara-negara tersebut :

a)      Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.

Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.

b)     Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.

B.     Sejarah Angka

Angka adalah “suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan”.

dan Angka Arab adalah sebutan untuk sepuluh buah digit (yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Angka adalah keturunan dari angka India dan sistem angka Hindu-Arab yang dikembangkan oleh matematikawan India, yang membaca urutan angka seperti “975” sebagai satu bilangan yang utuh. Angka India kemudian diadopsi oleh matematikawan Persia di India, dan diteruskan lebih lanjut kepada orang-orang Arab di sebelah barat. Bentuk angka itu dimodifikasi di saat mereka diteruskan, dan mencapai bentuk Eropanya (bentuk yang sekarang) pada saat mencapai Afrika Utara. Dari sana, penggunaan angka menyebar ke Eropa pada Abad Pertengahan. Penggunaan Angka Arab tersebar ke seluruh dunia melalui perdagangan, buku dan kolonialisme Eropa. Saat ini, Angka Arab adalah simbol representasi angka yang paling umum digunakan di dunia.

Sesuai dengan sejarah mereka, angka-angka (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) juga dikenal sebagai Angka Hindu atau Angka Hindu-Arab. Alasan mereka lebih dikenal sebagai “Angka Arab” di Eropa dan Amerika adalah karena mereka diperkenalkan ke Eropa pada abad kesepuluh melalui bangsa Arab di Afrika Utara. Dahulu (dan sampai sekarang) digit-digit tersebut masih dipergunakan oleh orang Arab barat semenjak dari Libya hingga ke Maroko. Di sisi lain, orang-orang Arab menyebut sistem tersebut dengan nama “Angka Hindu”,  yang mengacu pada asal mereka di India. Namun demikian, angka ini tidak boleh dirancukan dengan “Angka Hindu” yang dipergunakan orang-orang Arab di Timur Tengah (٠.١.٢.٣.٤.٥.٦.٧.٨.٩), yang disebut dengan nama lain Angka Arab Timur; atau dengan angka-angka lain yang saat ini dipergunakan di India (misalnya angka Dewanagari: ०.१.२.३.४.५.६.७.८.९)

Dalam bahasa Inggris, dengan demikian istilah Angka Arab dapat menjadi bermakna ganda. Angka paling sering digunakan untuk merujuk pada sistem bilangan digunakan secara luas di Eropa dan Amerika. Dalam hal ini, Angka Arab adalah nama konvensional untuk seluruh keluarga sistem angka Arab dan India.

Sistem desimal Angka Hindu-Arab ditemukan di India sekitar 500 Masehi. Sistem ini revolusioner dalam hal ia memiliki angka nol dan notasi posisional. Hal tersebut dianggap sebagai tonggak penting dalam pengembangan matematika. Seseorang dapat membedakan antara sistem posisi ini, yang identik adalah seluruh keluarga angka Hindu-Arab, dan bentuk penulisan (glyph) tertentu yang digunakan untuk menulis angka, yang bervariasi secara regional. Glyph yang paling umum yang digunakan bersama-sama dengan Abjad Latin sejak Abad Modern Awal adalah 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Penulisan symbol matematika pertama muncul di zaman Babylonia (sekitar 3300 sebelum masehi). Mereka menulis atau menggambar bentuk paku untuk mewakili satu, sedangkan bentuk V mewakili sepuluh. Sembilan paku dan satu V berarti sembilan belas. Zaman berkembang dan melahirkan berbagai peradaban yang juga menggunakan sistem bilangan yang sama dengan bangsa Babylonia. Bangsa Maya misalnya menggunakan garis sebagai representasi dari angka lima dan titik yang mewakili angka satu. Mereka menuliskan 19 dengan tiga garis dan empat titik. Bangsa Mesir kuno menggunakan garis untuk mewakili satuan, bentuk pegangan keranjang untuk puluhan, bentuk gulungan tali untuk ratusan, dan bentuk bunga lotus untuk mewakili ribuan. Sistem bilangan tersebut adalah contoh sistem bilangan penjumlahan, karena nilai dari suatu angka sama dengan jumlah nilai dari simbol yang mewakilinya. Bangsa Romawi yang menemukan sistem biilangan Romawi juga dianggap sebagai sistem bilangan penjumlahan. Misalnya XI berarti 10 + 1 = 11. Keunggulan dari sistem bilangan romawi ini yakni, apabila menempatkan angka yang lebih kecil di depan sebelum bilangan yang lebih besar maka akan menandakan pengurangan misalnya IX berarti 10 – 1 = 9.